Uma abordagem simplificada para calcular a volatilidade Muitos investidores experimentaram níveis anormais de volatilidade do desempenho do investimento durante vários períodos do ciclo do mercado. Embora a volatilidade possa ser maior do que o esperado durante certos períodos de tempo, também pode ser feito um caso de que a maneira como a volatilidade é normalmente medida contribui para o problema da volatilidade inesperada. O objetivo deste artigo é discutir as questões associadas à medida tradicional da volatilidade e explicar uma abordagem mais intuitiva que pode ser usada pelos investidores para ajudá-los a avaliar a magnitude de seus riscos de investimento. Medida tradicional de volatilidade A maioria dos investidores deve estar ciente de que o desvio padrão é a estatística típica utilizada para medir a volatilidade. O desvio padrão é simplesmente definido como a raiz quadrada do desvio médio quadrático dos dados do seu significado. Embora esta estatística seja relativamente fácil de calcular, os pressupostos de sua interpretação são mais complexos, o que, por sua vez, suscita preocupação quanto à sua precisão. Como resultado, há um certo nível de ceticismo em torno de sua validade como uma medida precisa de risco. (Para saber mais, consulte Os Usos e Limites de Volatilidade.) Para explicar, para que o desvio padrão seja uma medida precisa de risco, deve-se concluir que os dados do desempenho do investimento seguem uma distribuição normal. Em termos gráficos, uma distribuição normal de dados será traçada em um gráfico de uma maneira que se parece com uma curva em forma de sino. Se este padrão for verdade, então aproximadamente 68 dos resultados esperados devem situar-se entre 1 desvio padrão do retorno esperado dos investimentos. 95 deve situar-se entre 2 desvios-padrão e 99 deve situar-se entre 3 desvios-padrão. Por exemplo, durante o período de 1 de junho de 1979 até 1º de junho de 2009, o desempenho médio anualizado de três anos do índice SampP 500 foi de 9,5 e seu desvio padrão foi de 10. Dado esses parâmetros de desempenho de base, seria de esperar Que 68 do tempo o desempenho esperado do índice SampP 500 ficaria dentro de um intervalo de -0,5 e 19,5 (9,5 10). Infelizmente, existem três razões principais pelas quais os dados do desempenho do investimento podem não ser normalmente distribuídos. Em primeiro lugar, o desempenho do investimento é tipicamente desviado, o que significa que as distribuições de retorno são tipicamente assimétricas. Como resultado, os investidores tendem a experimentar períodos de desempenho anormalmente altos e baixos. Em segundo lugar, o desempenho do investimento tipicamente exibe uma propriedade conhecida como kurtosis. O que significa que o desempenho do investimento exibe um número anormalmente grande de períodos positivos ou negativos de desempenho. Em conjunto, esses problemas danificam a aparência da curva em forma de sino e distorcem a precisão do desvio padrão como medida de risco. Além da aspereza e da curtose, um problema conhecido como heterocedasticidade também é motivo de preocupação. Heterosqueticidade simplesmente significa que a variação dos dados de desempenho de investimento da amostra não é constante ao longo do tempo. Como resultado, o desvio padrão tende a flutuar com base no comprimento do período de tempo usado para fazer o cálculo, ou o período de tempo selecionado para fazer o cálculo. Como a asmose e a curtose, as ramificações da heterocedasticidade causarão um desvio padrão como uma medida de risco não confiável. Tomados em conjunto, esses três problemas podem fazer com que os investidores entendam mal a potencial volatilidade de seus investimentos e levem a potencialmente riscos muito mais do que o esperado. (Para saber mais, consulte o nosso Guia de exame de métodos quantitativos de nível 1- CFA). Uma medida simplificada da volatilidade Felizmente, existe uma maneira muito mais fácil e precisa de medir e examinar o risco. Através de um processo conhecido como método histórico, o risco pode ser capturado e analisado de forma mais informativa do que através do uso do desvio padrão. Para utilizar este método, os investidores simplesmente precisam representar o histórico do desempenho de seus investimentos, gerando um gráfico conhecido como um histograma. Um histograma é um gráfico que traça a proporção de observações que se enquadram em vários tipos de categorias. Por exemplo, no gráfico abaixo, o desempenho médio anualizado de rodágio de três anos do Índice SampP 500 para o período de 1º de junho de 1979 até 1º de junho de 2009 foi construído. O eixo vertical representa a magnitude do desempenho do Índice SampP 500, e o eixo horizontal representa a freqüência em que o Índice SampP 500 teve esse desempenho. Figura 1: Histograma de desempenho do índice SampP 500: Investopedia 2009 Como o gráfico ilustra, o uso de um histograma permite aos investidores determinar a porcentagem de tempo em que o desempenho de um investimento está dentro, acima ou abaixo de um determinado intervalo. Por exemplo, 16 das observações de desempenho do Índice SampP 500 obtiveram retorno entre 9 e 11,7. Em termos de desempenho abaixo ou acima de um limiar, também pode ser determinado que o Índice SampP 500 sofreu uma perda maior ou igual a 1,1, 16 do tempo e desempenho acima de 24,8, 7,7 do tempo. Comparando os métodos O uso do método histórico através de um histograma tem três vantagens principais sobre o uso do desvio padrão. Primeiro, o método histórico não exige que o desempenho do investimento seja normalmente distribuído. Em segundo lugar, o impacto da aspereza e da curtose é explicitamente capturado no gráfico de histograma, que fornece aos investidores as informações necessárias para mitigar a surpresa de volatilidade inesperada. Em terceiro lugar, os investidores podem examinar a magnitude dos ganhos e perdas experimentados. A única desvantagem para o método histórico é que o histograma, como o uso do desvio padrão, sofre o impacto potencial da heterocedasticidade. No entanto, isso não deve ser uma surpresa, pois os investidores devem entender que o desempenho passado não é indicativo de retornos futuros. Em qualquer caso, mesmo com esta ressalva, o método histórico ainda serve como uma excelente medida de linha de base do risco de investimento e deve ser usado pelos investidores para avaliar a magnitude e a freqüência de seus ganhos e perdas potenciais associados às suas oportunidades de investimento. Aplicação da Metodologia Agora que os investidores entendem que o método histórico pode ser usado como uma maneira informativa de medir e analisar o risco, a questão então se torna: como os investidores geram um histograma para ajudá-los a examinar os atributos de risco de seus investimentos. Uma recomendação É solicitar informações de desempenho de investimento das empresas de gestão de investimentos. No entanto, as informações necessárias também podem ser obtidas através da coleta do preço de fechamento mensal da opção de investimento, geralmente encontrada através de várias fontes, e depois cálculo manual do desempenho do investimento. Depois que as informações de desempenho foram coletadas ou calculadas manualmente, um histograma pode ser construído importando os dados para um pacote de software, como o Microsoft Excel. E usando o recurso de complemento de análise de dados de softwares. Ao utilizar esta metodologia, os investidores devem ser capazes de gerar facilmente um histograma, o que, por sua vez, deve ajudá-los a avaliar a verdadeira volatilidade de suas oportunidades de investimento. Conclusão Em termos práticos, a utilização de um histograma deve permitir que os investidores examinem o risco de seus investimentos de forma a ajudá-los a avaliar a quantidade de dinheiro que eles devem fazer ou perder anualmente. Dado este tipo de aplicabilidade do mundo real, os investidores devem ser menos surpreendidos quando os mercados flutuam drasticamente, e, portanto, eles devem se sentir muito mais satisfeitos com sua exposição ao investimento em todos os ambientes econômicos. (Para mais, consulte Compreendendo as Medições de Volatilidade.) Análise de Regressão 13 Para encontrar o erro padrão da estimativa, tomamos a soma de todos os termos residuais quadrados e dividimos por (n - 2) e, em seguida, retire a raiz quadrada do resultado. Nesse caso, a soma dos resíduos quadrados é 0.090.160.642.250.04 3.18. Com cinco observações, n - 2 3 e SEE (3.183) 12 1.03. A computação para erro padrão é relativamente semelhante à do desvio padrão para uma amostra (n - 2 é usado em vez de n - 1). Isso dá alguma indicação da qualidade preditiva de um modelo de regressão, com números SEE mais baixos indicando que previsões mais precisas são possíveis. No entanto, a medida de erro padrão não indica a medida em que a variável independente explica variações no modelo dependente. Coeficiente de Determinação Como o erro padrão, esta estatística dá uma indicação de quão bem um modelo de regressão linear serve como um estimador de valores para a variável dependente. Ele funciona medindo a fração da variação total na variável dependente que pode ser explicada pela variação na variável independente. Neste contexto, a variação total é constituída por duas frações: Variação total variação explicada variação inexplicável variação total variação total O coeficiente de determinação. Ou variação explicada como porcentagem da variação total, é o primeiro desses dois termos. Às vezes é expresso como 1 - (variação total de variação inexplicada). Para uma regressão linear simples com uma variável independente, o método simples para calcular o coeficiente de determinação é o quadrado do coeficiente de correlação entre as variáveis dependente e independente. Uma vez que o coeficiente de correlação é dado por r, o coeficiente de determinação é popularmente conhecido como R 2. ou R-quadrado. Por exemplo, se o coeficiente de correlação for 0.76, o R-quadrado é (0.76) 2 0.578. Os termos R-quadrado são geralmente expressos em porcentagens, portanto 0,578 seria 57,8. Um segundo método de computação deste número seria encontrar a variação total na variável dependente Y como a soma dos desvios quadrados da amostra significa. Em seguida, calcule o erro padrão da estimativa seguindo o processo descrito na seção anterior. O coeficiente de determinação é então calculado por (variação total em Y - variação inexplicável em Y) variação total em Y. Este segundo método é necessário para regressões múltiplas, onde há mais de uma variável independente, mas para o nosso contexto, seremos fornecidos O r (coeficiente de correlação) para calcular um R-quadrado. O que R 2 nos diz são as mudanças na variável dependente Y que são explicadas por mudanças na variável independente X. R 2 de 57.8 nos diz que 57.8 das mudanças no resultado Y de X também significa que 1 - 57.8 ou 42.2 de As mudanças em Y são inexplicadas por X e são o resultado de outros fatores. Assim, quanto maior o R-quadrado, melhor a natureza preditiva do modelo de regressão linear. Coeficientes de regressão Para qualquer coeficiente de regressão (interceptar a ou inclinação b), um intervalo de confiança pode ser determinado com as seguintes informações: 13 Um valor de parâmetro estimado de uma amostra 13 Erro padrão da estimativa (SEE) 13 Nível de significância para o t - Distribuição 13 graus de liberdade (que é tamanho de amostra - 2) 13 Para um coeficiente de inclinação, a fórmula para o intervalo de confiança é dada por btc SEE, onde tc é o valor t crítico no nosso nível significativo escolhido. Para ilustrar, faça uma regressão linear com retornos de fundos mútuos como variável dependente e índice SampP 500 como variável independente. Durante cinco anos de retornos trimestrais, o coeficiente de inclinação b é de 1,18, com um erro padrão da estimativa de 0,147. A distribuição t dos alunos para 18 graus de liberdade (20 trimestres - 2) com um nível de significância de 0,05 é 2.101. Esses dados nos fornecem um intervalo de confiança de 1,18 (0,147) (2,101), ou uma faixa de 0,87 a 1,49. Nossa interpretação é que há apenas uma chance de que a inclinação da população seja inferior a 0,87 ou superior a 1,49 - estamos confiantes de que esse fundo seja pelo menos 87 tão volátil quanto o SampP 500, mas não mais de 149 como Volátil, com base em nossa amostra de cinco anos. Teste de Hipóteses e Coeficientes de Regressão Os coeficientes de regressão são freqüentemente testados usando o procedimento de teste de hipóteses. Dependendo do que o analista pretenda provar, podemos testar um coeficiente de declive para determinar se explica chances na variável dependente e na medida em que explica mudanças. Betas (coeficientes de inclinação) podem ser determinados acima ou abaixo de 1 (mais voláteis ou menos voláteis do que o mercado). Alphas (o coeficiente de intercepção) pode ser testado em uma regressão entre um fundo mútuo e o índice de mercado relevante para determinar se há evidência de um alfa suficientemente positivo (sugerindo valor agregado pelo gerente do fundo). A mecânica do teste de hipóteses é semelhante aos exemplos que usamos anteriormente. Uma hipótese nula é escolhida com base em um não igual a, maior ou menor que o caso, com a alternativa que satisfaz todos os valores não cobertos no caso nulo. Suponhamos, em nosso exemplo anterior, que regredimos um retorno de fundos mútuos no SampP 500 por 20 trimestres, nossa hipótese é que esse fundo mútuo é mais volátil do que o mercado. Um fundo igual em volatilidade para o mercado terá declive b de 1,0, então, para este teste de hipóteses, apresentamos a hipótese nula (H 0), caso o declive seja menor ou maior a 1,0 (ou seja, H 0: l 1,0 ). A hipótese alternativa H a tem b gt 1.0. Sabemos que este é um caso maior do que o caso (ou seja, um-cauda) - se assumirmos um nível de significância de 0,05, t é igual a 1,734 em graus de liberdade n - 2 18. Exemplo: Interpretando um teste de hipótese De nossa amostra, nós Tinha estimado b de 1,18 e erro padrão de 0,147. Nossa estatística de teste é calculada com esta fórmula: t coeficiente estimado - coeficiente de hipótese. Erro padrão (1.18 - 1.0) 0.147 0.180.147, ou t 1.224. Para este exemplo, nossa estatística de teste calculada está abaixo do nível de rejeição de 1.734, portanto não podemos rejeitar a hipótese nula de que o fundo é mais volátil do que o mercado. Interpretação: a hipótese de que b gt 1 para este fundo provavelmente precisa de mais observações (graus de liberdade) para ser comprovada com significância estatística. Além disso, com 1,18 apenas um pouco acima de 1,0, é bem possível que este fundo não seja tão volátil quanto o mercado, e estávamos certos de não rejeitar a hipótese nula. Exemplo: Interpretação de um coeficiente de regressão O exame CFA provavelmente dará as estatísticas resumidas de uma regressão linear e pedirá interpretação. Para ilustrar, assuma as seguintes estatísticas para uma regressão entre um fundo de crescimento de pequena capitalização e o índice Russell 2000: 13 Coeficiente de correlação 13 As duas abreviaturas a entender são RSS e SSE: 13 RSS. Ou a soma de regressão dos quadrados, é a quantidade de variação total na variável dependente Y que é explicada na equação de regressão. O RSS é calculado calculando cada desvio entre um valor Y predito e o valor Y médio, esquadrinhando o desvio e somando todos os termos. Se uma variável independente explica nenhuma das variações em uma variável dependente, então os valores previstos de Y são iguais ao valor médio e RSS 0. 13 SSE. Ou a soma do erro quadrado dos resíduos, é calculada encontrando o desvio entre um Y predito e um Y real, esquadrinhando o resultado e somando todos os termos. 13 TSS, ou variação total, é a soma de RSS e SSE. Em outras palavras, este processo ANOVA quebra a variância em duas partes: uma que é explicada pelo modelo e um que não é. Essencialmente, para que uma equação de regressão tenha alta qualidade preditiva, precisamos ver um RSS elevado e um SSE baixo, o que tornará a relação (RSS1) SSE (n - 2) alta e (com base em uma comparação com um F - Valor estatisticamente significativo. O valor crítico é retirado da distribuição F e é baseado em graus de liberdade. Por exemplo, com 20 observações, os graus de liberdade seriam n - 2 ou 18, resultando em um valor crítico (da tabela) de 2.19. Se o RSS fosse 2,5 e a SSE fosse 1,8, então a estatística de teste calculada seria F (2,5 (1,818) 25, que está acima do valor crítico, o que indica que a equação de regressão possui qualidade preditiva (b é diferente de 0) Estimativa de estatísticas econômicas Com modelos de regressão Os modelos de regressão são freqüentemente utilizados para estimar as estatísticas econômicas, como a inflação e o crescimento do PIB. Suponha que a seguinte regressão seja feita entre a inflação anual estimada (X ou variável independente) eo número real (Y ou variável dependente): Usando isso Modelo, o número de inflação previsto seria calculado com base no modelo para os seguintes cenários de inflação: 13 Estimativa de inflação 13 Inflação baseada no modelo 13 As previsões baseadas neste modelo parecem funcionar melhor para estimativas de inflação típicas e sugerem que estimativas extremas tendem a Supera a inflação - por exemplo, uma inflação real de apenas 4,46 quando a estimativa foi de 4.7. O modelo parece sugerir que as estimativas são altamente preditivas. Embora para avaliar melhor este modelo, precisamos ver o erro padrão eo número de observações em que se baseia. Se conhecemos o valor verdadeiro dos parâmetros de regressão (inclinação e interceptação), a variância de qualquer valor previsto de Y seria igual ao quadrado do erro padrão. Na prática, devemos estimar os parâmetros de regressão, portanto, nosso valor previsto para Y é uma estimativa baseada em um modelo estimado. Quão confiável podemos estar em tal processo. Para determinar um intervalo de predição, use as seguintes etapas: 1. Preditar o valor da variável dependente Y com base na observação independente X. 2. Calcular a variância do erro de predição, usando o Seguinte equação: 13 Onde: s 2 é o erro padrão quadrado da estimativa, n é o número de observações, X é o valor da variável independente usada para fazer a predição, X é o valor médio estimado da variável independente e sx 2 é a variância de X. 3. Escolha um nível de significância para o intervalo de confiança. 4. Construa um intervalo de confiança de (1 -), usando a estrutura Y t c s f. Este é outro caso em que o material se torna muito mais técnico do que o necessário e pode-se ficar atolado na preparação, quando na realidade a fórmula para a variação de um erro de previsão provavelmente não será coberta. Priorize - não desperdice horas preciosas de estudo memorizando. Se o conceito for testado, provavelmente será dada a resposta para a Parte 2. Simplesmente sabe como usar a estrutura na Parte 4 para responder a uma pergunta. Por exemplo, se a observação X prevista for 2 para a regressão Y 1.5 2.5X, teríamos um Y predito de 1.5 2.5 (2), ou 6.5. Nosso intervalo de confiança é 6.5 t c s f. O t-stat é baseado em um intervalo de confiança escolhido e graus de liberdade, enquanto que sf é a raiz quadrada da equação acima (para variância do erro de predição. Se esses números são tc 2.10 para confiança 95 e sf 0.443, o intervalo É 6.5 (2.1) (0.443), ou 5.57 a 7.43. Limitações da análise de regressão Concentre-se em três limitações principais: 1. Instabilidade de parâmetros - Esta é a tendência para que as relações entre as variáveis mudem ao longo do tempo devido a mudanças na economia ou nos mercados , Entre outras incertezas. Se um fundo mútuo produzisse um histórico de retorno em um mercado onde a tecnologia era um setor de liderança, o modelo pode não funcionar quando os mercados estrangeiros e de capitais pequenos são líderes. 2. Divulgação pública do relacionamento - Em um mercado eficiente , Isso pode limitar a eficácia desse relacionamento em períodos futuros. Por exemplo, a descoberta de que os valores baixos de preço por valor de estoque superam o alto valor do preço por valor significa que esses estoques podem ser oferecidos mais alto e com base em valores As abordagens de vestuário não manterão o mesmo relacionamento que no passado. 3. Violação dos relacionamentos de regressão - Anteriormente, resumimos os seis pressupostos clássicos de uma regressão linear. No mundo real, essas premissas são muitas vezes pouco realistas - por ex. Assumindo que a variável independente X não é aleatória.
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